Búscase solución 2025-2026, xornada 2

Benvido, cazador. Se aínda non estás rexistrado no Gremio de Cazarrecompensas, preme na seguinte ligazón. Se xa estás rexistrado, le as instrucións que veñen a continuación.

Para enviar os problemas, facédelo dende o correo que puxéchedes á hora de inscribirvos ao correo (mestrecazador@gmail.com) poñendo como asunto “Xornada2.NivelX”. Un correo por problema.

Tódolos problemas da anterior xornada foron resoltos por alguén. Seguide así, Gremio de Cazarrecompensas.

Nivel 1

Demostra que $\frac{1}{\sqrt{2}\cdot 10}<\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{99}{100}<\frac{1}{10}$.

Nivel 2

Sexan $x_1,...,x_n$ $n$ números reais positivos. Proba que $\left({\sum }_{i=1}^n{x}_i\right)\left({\sum }_{i=1}^n\frac{1}{x_i}\right)\ge n^2$.

Nivel 3

Dado un taboleiro cadrado perforado, con $(2n+1{)}^2-1$ casillas, tal que lle falta a casilla do centro, escollemos un conxunto de casillas do taboleiro perforado, $A$, e diremos que $A$ é “invariante” se cumpre que en cada fila, columna e diagonal do taboleiro hai un número par de casillas que pertenzan a $A$. Calcula cantos conxuntos “invariantes” hai no taboleiro en función de $n$.

“Que gane o mellor!”

Se tedes algunha dúbida, podedes contactar á organización empregando o seguinte correo (mestrecazador@gmail.com).