Búscase solución 2025-2026, xornada 7

Benvido, cazador. Se aínda non estás rexistrado no Gremio de Cazarrecompensas, preme na seguinte ligazón. Se xa estás rexistrado, le as instrucións que veñen a continuación.

Para enviar os problemas, facédelo dende o correo que puxéchedes á hora de inscribirvos ao correo (mestrecazador@gmail.com) poñendo como asunto “Xornada3.NivelX”. Un correo por problema.

Recordámosvos tamén que o Problema 2 de Nivel 3 da Xornada 5 e os problemas de Nivel 1 e 2 da Xornada 6 seguen sen resolver, polo que a súa puntuación aumenta nun punto adicional.

Nivel 1

Sexa $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$ crecente e tal que $f(x)\ge x$. Proba que se $\exists n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ tal que $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f^n(x)}{f(x)}=1$, entón $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f^k(x)}{f(x)}=1$, $\forall 1\le k\le n$.

Nota: $f^k(x)=\left(f\circ \stackrel{k\text{ veces}}{\dots }\circ f\right)(x)$ e, en xeral, $f^k(x)\ne f(x{)}^k$.

Nivel 2

Sexa $P(x)$ un polinomio de grao $n\ge 2$ con coeficientes non negativos, e sexan $a,b$ e $c$ as lonxitudes dun triángulo acutángulo. Demostra que $\sqrt[n]{P(a)},\sqrt[n]{P(b)}$ e $\sqrt[n]{P(c)}$ son tamén as lonxitudes dun triángulo acutángulo.

Nivel 3

Se $S_n={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3n}{3k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3n}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3n}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3n}{6}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3n}{3n}\right),$ proba que ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n^{1/3n}=2.$

“Que gane o mellor!”

Se tedes algunha dúbida, podedes contactar á organización empregando o seguinte correo (mestrecazador@gmail.com).