Búscase solución 2025-2026, xornada 1

Benvido, cazador. Se aínda non estás rexistrado no Gremio de Cazarrecompensas, preme na seguinte ligazón. Se xa estás rexistrado, le as instrucións que veñen a continuación.

Para inaugurar a cacería, esta semana publicaremos o dobre de problemas, pero o habitual será que publiquemos un problema por categoría cada dúas semanas (os venres á 13:00).

Para enviar os problemas, facédelo dende o correo que puxéchedes á hora de inscribirvos ao correo (mestrecazador@gmail.com) poñendo como asunto “Xornada1.NivelX.ProblemaX”. Un correo por problema.

Nivel 1, Problema 1

Sexan $a$ e $b$ dous números reais non negativos. Proba que $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$.

Nivel 1, Problema 2

Demostra que existen infinitos números primos.

Nivel 2, Problema 1

Sexa $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ unha sucesión de números reais limitada. Dicimos que $(x_{n_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}\sim (x_{m_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}$ (as dúas subsucesións están relacionadas) se ${\lim }_{k\to \infty }(x_{n_k}-x_{m_k})=0$. Sexa $C$ o conxunto de clases de equivalencia. Proba que $|C|=1$ ou $C$ é non numerable.

Nivel 2, Problema 2

Sexan $C_n=\frac{1}{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right),\forall n\in \mathbb{N},$ o $n$-ésimo número de Catalan e $P(x)$ un polinomio con coeficientes reais. Proba que é imposible que $P(k)=C_{n(k)},\forall k\in \mathbb{N}$, onde $\{C_{n(k)}:k\in \mathbb{N}\}$ é unha colección infinita numerable de números de Catalan. Nota: O número $n$-ésimo número de Catalan é o número de formas posibles de organizar unha multiplicación de $n$ números cando en cada paso faise a multiplicación de dous números. Por exemplo: se $n=4$, temos que $C_n=5$ porque podemos facer "$[(a\cdot b)\cdot c]\cdot d$", "$(a\cdot b)\cdot (c\cdot d)$", "$a\cdot [b\cdot (c\cdot d)]$", "$[a\cdot (b\cdot c)]\cdot d$" e "$a\cdot [(b\cdot c)\cdot d]$".

Nivel 3, Problema 1

Sexan $a$ e $b$ enteiros positivos tales que $a^n+b^n|(ab{)}^n+1,\forall n\in \mathbb{N}$. Proba que $\min \{a,b\}=1$.

Nivel 3, Problema 2

Atopa tódalas $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ tales que $f^{\prime }(x)=f(x+1)-f(x)$. Nota: $\mathcal{S}(\mathbb{R})=\{g\in {\mathcal{C}}^{\infty }(\mathbb{R}):\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|x^n{g}^{k)}(x)|<\infty ,\forall n,k\in {\mathbb{Z}}^{+}\}$.

“Que gane o mellor!”

Se tedes algunha dúbida, podedes contactar á organización empregando o seguinte correo (mestrecazador@gmail.com).