Búscase solución 2025-2026, xornada 10

Benvido, cazador. Se aínda non estás rexistrado no Gremio de Cazarrecompensas, preme na seguinte ligazón. Se xa estás rexistrado, le as instrucións que veñen a continuación.

Para enviar os problemas, facédelo dende o correo que puxéchedes á hora de inscribirvos ao correo (mestrecazador@gmail.com) poñendo como asunto “Xornada10.NivelX”. Un correo por problema.

Recordámosvos tamén que o Problema 2 de Nivel 3 da Xornada 5, o problema de Nivel 1 da Xornada 6, o problema de Nivel 2 da Xornada 7, o problema de Nivel 3 da xornada 8 e os problemas de Nivel 1 e 3 da xornada 9 seguen sen resolver, polo que a súa puntuación aumenta nun punto adicional.

Ademais, informámosvos de que a seguinte xornada será a última desta edición de Búscase Solución. Esperamos que desfrutárades moito ese ano deste concurso e que sigades participando o ano que vén. Ánimo, que esta é a recta final da cacería de problemas! Ah, tamén dicirvos que a Presa Atrapalladora xa non ten o control do concurso.

Nivel 1

Dicimos que $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ con $m$ cifras en base $10$ é un número $k$-automórfico ($k\in {\mathbb{Z}}^{+}$) se as últimas $m$ cifras de $n^k$ en base $10$ coinciden con $n$.

Demostra que, se $n$ é $2$-automórfico, entón $n$ é $k$-automórfico, $\forall k\ge 2$.

Exemplo: $4$ non é un número $2$-automórfico, porque $4^2=16$, pero $5$ si, xa que $5^2=25$.

Nivel 2

Dados $p_1,p_2...,p_n$ números naturais coprimos dous a dous, probade se existen algúns $i$ e $n$ maiores ou iguais a 1 e tales que $\det (A_{i,n})=0$. Cales?

$A_{i,n}=\left(\begin{array}{cccc}{\left(\frac{1}{p_1}\right)}^i& {\left(\frac{1}{p_1{p}_2}\right)}^i& \cdots & {\left(\frac{1}{p_1{p}_2\cdots p_n}\right)}^i\\ {\left(\frac{1}{p_1{p}_2}\right)}^i& {\left(\frac{1}{p_1{p}_2{p}_3}\right)}^i& \cdots & {\left(\frac{1}{p_1{p}_2\cdots p_{n+1}}\right)}^i\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\left(\frac{1}{p_1{p}_2\cdots p_n}\right)}^i& {\left(\frac{1}{p_1{p}_2\cdots p_{n+1}}\right)}^i& \cdots & {\left(\frac{1}{p_1{p}_2\cdots p_{2n-1}}\right)}^i\end{array}\right).$

Nivel 3

Sexa $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Dado un taboleiro $n\times n$, pintamos a celda superior esquerda de negro e o resto de branco. Agora podemos aplicar unha operación, que consiste en seleccionar un cadrado $2\times 2$ cunha única celda negra e pintar o resto de negro. Para que $n$ podemos pintar todo o cadrado de negro?

“Que gane o mellor!”

Se tedes algunha dúbida, podedes contactar á organización empregando o seguinte correo (mestrecazador@gmail.com).