Búscase solución 2025-2026, xornada 11

Benvido, cazador. Se aínda non estás rexistrado no Gremio de Cazarrecompensas, preme na seguinte ligazón. Se xa estás rexistrado, le as instrucións que veñen a continuación.

Para enviar os problemas, facédelo dende o correo que puxéchedes á hora de inscribirvos ao correo (mestrecazador@gmail.com) poñendo como asunto “Xornada11.NivelX.ProblemaX”. Un correo por problema.

Recordámosvos tamén que o Problema 2 de Nivel 3 da Xornada 5, o problema de Nivel 1 da Xornada 6, o problema de Nivel 3 da Xornada 8, os problemas de Nivel 1 e 3 da Xornada 9 e os problemas de Nivel 2 e 3 da Xornada 10 seguen sen resolver, polo que a súa puntuación aumenta nun punto adicional.

Esta é a última xornada desta edición de Búscase Solución, pero tranquilos, xa que teredes todo o mes para rematar de enviar as vosas solucións. A primeira semana de xuño subiremos a clasificatoria e comezaremos a ir subindo as solucións (se é que as hai) dos problemas.

Nivel 1, Problema 1

Resolve $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{p}$ con $m,n\in {\mathbb{Z}}^{+},m\ne n$, e $p$ primo.

Nivel 2, Problema 1

Diante túa aparece o monstro Rotardo. Para escapar del, só tes que darte a volta sen xirar máis de $90°$ en ningunha dirección (non podes rotar, en total, máis de $90°$ sobre ningún eixo).

Demostra que ti, como ser tridimensional atado a camiñar sobre o chan, non podes escapar, pero que un ser de $4$ dimensións, atado a camiñar sobre $3$ dimensións, si que pode escapar.

Nivel 2, Problema 2

No primeiro debuxo, o punto negro está situado á metade do segmento, asumimos que os n segmentos teñen lonxitude $1$. O punto móvese con velocidade de $1$ segmento por segundo. O punto azul sae ao seu encontro con velocidade cosntante e maior á deste. Unha vez o alcanza o punto negro desaparece, pero nos dous segmentos máis próximos a este en sentido antihorario aparecen dous novos puntos negros.

Cal é a velocidade mínima do punto azul en función de $n$ para que os puntos negros nunca escapen do feixe de segmentos?

Nota: Salientar que o movemento dos puntos só se pode facer sobre os segmentos e non empregando o espazo entre estes.

Nivel 3, Problema 1

Consideremos o anel $A=\mathbb{Z}\left[\sqrt{-17}\right]$ e os números primos $p_1=2,p_2=3$ e $p_3=5$.

Como factoriza o ideal $\left(p_i\right)$ en $A$?

E para $p\in \{2003,2011,2017,2027,2029\}$?

Nivel 3, Problema 2

Dado $A\subset {\mathbb{R}}^n$, definimos $c(A)$ como os puntos de $A$ tales que $A$ é estrelado respecto a ese punto. É $c(A)$ estrelado? É $c(A)$ convexo?

Nivel 3, Problema 3

En tempo $t=0$ colocamos unha unidade nun dos vértices. En tempo $t=1$ esta unidade distribuirase da seguinte maneira. Unha proporción fixa desa cantidade, $d$, queda no vértice e o resto dívidese a partes iguais entre os outros vértices cos que o vértice inicial comparte aresta.

Sendo esta a ecuación de paso entre tempo $t$ e $t+1$:

$x_{t+1}(v)=d{x}_t(v)+{\sum }_{u\sim v}\frac{(1-d)x_t(u)}{\mathrm{deg}(u)},$

onde $\sim$ indica adxacencia.

Existe $d$, de xeito tal que este sistema chegue ao equilibrio da forma máis rápida posible? De existir, cal é?

“Que gane o mellor!”

Se tedes algunha dúbida, podedes contactar á organización empregando o seguinte correo (mestrecazador@gmail.com).