Búscase solución 2025-2026, xornada 4

Benvido, cazador. Se aínda non estás rexistrado no Gremio de Cazarrecompensas, preme na seguinte ligazón. Se xa estás rexistrado, le as instrucións que veñen a continuación.

Para enviar os problemas, facédelo dende o correo que puxéchedes á hora de inscribirvos ao correo (mestrecazador@gmail.com) poñendo como asunto “Xornada4.NivelX”. Un correo por problema.

Recordámosvos tamén que o de Nivel 3 da Xornada 3 segue sen resolver, polo que a súa puntuación aumenta nun punto adicional.

Tamén vos informamos de que esta será a última xornada ata rematado o período de exames na USC. Avisaremos a todos os inscritos cando continúe o concurso.

Nivel 1

Sexa $n\ge 3$ un enteiro. Se debuxamos un círculo de raio $1$ e sobre este debuxamos $n$ círculos menores (do mesmo raio) de xeito que estes son tanxentes cos círculos contiguos e tódolos seus centros están na circunferencia do círculo orixinal, cal é a área total da intersección do círculo orixinal cos outros círculos?

Nivel 2

Sexan $a,b\in \mathbb{R}$, $a<b,$ e $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ continua. Cantos $c_0,c_1,c_2,c_3\in \mathbb{R}$ existen tales que:

${\int }_a^b\alpha (\xi )-c_0-c_1\xi -c_2{\xi }^2-c_3{\xi }^3\text{d}\xi =0$

${\int }_a^b{\int }_a^{\xi }\alpha (x)-c_0-c_{1}x-c_2{x}^2-c_3{x}^3\text{d}x\text{d}\xi =0$

${\int }_a^b{\int }_a^{\xi }{\int }_a^x\alpha (y)-c_0-c_{1}y-c_2{y}^2-c_3{y}^3\text{d}y\text{d}x\text{d}\xi =0$

${\int }_a^b{\int }_a^{\xi }{\int }_a^x{\int }_a^y\alpha (z)-c_0-c_{1}z-c_2{z}^2-c_3{z}^3\text{d}z\text{d}y\text{d}x\text{d}\xi =0$

Nivel 3

Atopa tódalas funcións diferenciables $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que $f(x{)}^2+f^{\prime }(x{)}^2=a^2$ e $f(x+b)=f^{\prime }(x)$ para $a,b\in {\mathbb{R}}^{+}$.

“Que gane o mellor!”

Se tedes algunha dúbida, podedes contactar á organización empregando o seguinte correo (mestrecazador@gmail.com).