Búscase solución 2025-2026, xornada 5

Benvido, cazador. Se aínda non estás rexistrado no Gremio de Cazarrecompensas, preme na seguinte ligazón. Se xa estás rexistrado, le as instrucións que veñen a continuación.

Para celebrar que retomamos a cacería, esta semana publicaremos o dobre de problemas, pero o habitual será que publiquemos un problema por categoría cada dúas semanas (os venres á 13:00).

Para enviar os problemas, facédelo dende o correo que puxéchedes á hora de inscribirvos ao correo (mestrecazador@gmail.com) poñendo como asunto “Xornada5.NivelX.ProblemaX”. Un correo por problema.

Nivel 1, Problema 1

Atopa as solucións enteiras de $y^2=x^3+16$.

Nivel 1, Problema 2

Demostra que $F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n$, onde $F_n$ é o $n$-ésimo número de Fibonacci, $F_0=0$ e $F_1=1$.

Nivel 2, Problema 1

Sexa $M\in {\mathcal{M}}_{2025\times 2025}(\mathbb{R})$ tal que $|m_{i,j}|\le 2^{-}(i+j)$ e que $m_{i,j}+m_{i+1,j}+m_{i,j+1}+m_{i+1,j+1}=0,\forall 1\le i,j\le 2024$. Proba que ${\sum }_{i,j=1}^{2025}{m}_{i,j}\le \frac{1}{3}$. Podes probar que ${\sum }_{i,j=1}^{2025}{m}_{i,j}\le \frac{1}{2^{2000}}$ dunha forma distinta?

Nivel 2, Problema 2

Sexa $({\mathbb{S}}^1,+)$ a circunferencia unidade coa estrutura de grupo habitual. Atopa tódalas aplicacións continuas $f:{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{S}}^1$ tales que $f(x+y)=f(x)+f(y)$.

Nota: $({\mathbb{S}}^1,+)$ coa estrutura de grupo habitual pode entenderse de varias maneiras (todas equivalentes). Aquí explicitaremos dúas versións:

• ${\mathbb{S}}^1=\{z\in \mathbb{C}/|z|=1\}$ coa operación $\cdot$ (produto).
• ${\mathbb{S}}^1=\mathbb{R}/\sim$, con $x\sim y⟺x-y=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, coa operación $+$ habitual de $\mathbb{R}$ trasladada ao cociente.

Nivel 3, Problema 1

Sexa $X={\mathbb{R}}^n$, $n\ge 2$, coa topoloxía habitual e $U\subset X$ un aberto conexo. Se $B\subset X$ é numerable, demostra que $U\setminus B$ é conexo por camiños.

Nivel 3, Problema 2

Se $U$ é un aberto limitado de ${\mathbb{R}}^n$, consideramos $M$ como o supremo de $\{r>0/\exists a\in U/B(a,r)\subset U\}$ e $R=\frac{M}{100}$.

Agora xogamos un xogo entre dous xogadores en $U$, que consiste en colocar bólas de radio $R$ que estean contidas en $U$ e non intersequen ás anteriores. Gaña quen coloque a última bóla posible.

Clasifica os abertos nos que gaña cada xogador se ambos xogan de forma óptima.

“Que gane o mellor!”

Se tedes algunha dúbida, podedes contactar á organización empregando o seguinte correo (mestrecazador@gmail.com).