Búscase solución 2025-2026, xornada 6

Benvido, cazador. Se aínda non estás rexistrado no Gremio de Cazarrecompensas, preme na seguinte ligazón. Se xa estás rexistrado, le as instrucións que veñen a continuación.

Para enviar os problemas, facédelo dende o correo que puxéchedes á hora de inscribirvos ao correo (mestrecazador@gmail.com) poñendo como asunto “Xornada6.NivelX”. Un correo por problema.

Recordámosvos tamén que o Problema 2 de Nivel 2 e o Problema 2 de Nivel 3 da Xornada 5 seguen sen resolver, polo que a súa puntuación aumenta nun punto adicional.

Nivel 1

Temos un cadrado taboleiro dividido en celas cadradas negras e brancas, de tamaño $2026\times 2026$. Sabemos que o bordo deste taboleiro está composto só por celas negras e que non hai ningún cadrado de celas contiguas $2\times 2$ no que todas teñan a mesma cor.

Demostra que hai un cadrado de celas $2\times 2$ estilo xadrez, é dicir, no que as celas só comparten cor coa esquina oposta do cadrado que forman.

Nivel 2

Dada $\sigma \in S_{100}$ definimos $f:S_{100}\to \mathbb{N}$ da seguinte forma:

$f(\sigma ):=\left|\{i\in \{1,\dots ,100\}\mid \sigma (i)>\sigma (j),\forall j\in \{1,\dots ,i-1\}\}\right|$

Asumimos por convenio que $\sigma (0)=0$, para que o caso co 1 estea cuberto.

Calcula $\frac{{\sum }_{\sigma \in S_{100}}f(\sigma )}{100!}$

Nota: $S_{100}$ denota o grupo simétrico de orde $100$, é dicir, $\left\{\sigma :\{1,...100\}\to \{1,...100\}\text{ bixectivas}\right\}$.

Nivel 3

Calcula $\sin \left({\int }_{\mathbb{R}}\frac{{\sin }^4(x)}{x^4}\text{d}x\right)$.

“Que gane o mellor!”

Se tedes algunha dúbida, podedes contactar á organización empregando o seguinte correo (mestrecazador@gmail.com).