Búscase solución 2025-2026, xornada 8

Benvido, cazador. Se aínda non estás rexistrado no Gremio de Cazarrecompensas, preme na seguinte ligazón. Se xa estás rexistrado, le as instrucións que veñen a continuación.

Para enviar os problemas, facédelo dende o correo que puxéchedes á hora de inscribirvos ao correo (mestrecazador@gmail.com) poñendo como asunto “Xornada8.NivelX”. Un correo por problema.

Recordámosvos tamén que o Problema 2 de Nivel 3 da Xornada 5, o problemas de Nivel 1 da Xornada 6 e o problema de Nivel 2 da Xornada 7 seguen sen resolver, polo que a súa puntuación aumenta nun punto adicional.

Nivel 1

Calcula tódolos puntos racionais da circunferencia de centro $(0,0)$ e raio $\sqrt{2}$.

Nivel 2

Atopa tódalas funcións $f:{\left({\mathbb{R}}^{+}\right)}^2\to {\mathbb{R}}^{+}$ que cumpran as seguintes condicións:

$f(x,y)=f\left(\frac{x+y}{2},\frac{2xy}{x+y}\right),\forall x,y>0$. $\frac{x+y}{2}\ge f(x,y)\ge \frac{2xy}{x+y},\forall x,y>0$.

Nivel 3

Temos un cubo de tamaño $(2n+1)\times (2n+1)\times (2n+1)$, que imos encher usando os seguintes tipos de pezas:

-Pezas tipo L: Consiste en tres cubos $1\times 1\times 1$ de xeito que non están aliñados.

-Pezas tipo C: Consiste nun cubo formado por lados de dous cubos $1\times 1\times 1$.

-Pezas tipo S: Consiste nunha peza tipo C que cortamos pola metade e desprazamos unha desas metades unha unidade unha dirección do plano do corte que sexa perpendicular a unha das caras do cubo. Nota que a peza segue sendo conexa, xa que non podes levantar, ao non ser esa unha dirección do plano do corte.

a) Supoñendo que é posible encher o cubo con estas pezas, cantas pezas tipo L necesitamos como mínimo?

Agora queremos xeneralizar o resultado a $k$ dimensións. O hipercubo pasa a ter tamaño $(2n+1)\times \stackrel{k)}{\dots }\times (2n+1)$. Agora, as nosas novas hiperpezas son:

-Hiperpezas tipo L: Consiste en tres hipercubos $1\times \stackrel{k)}{\dots }\times 1$ de xeito que non están aliñados.

-Hiperpezas tipo C: Consiste nun hipercubo formado por lados de dous hipercubos $1\times \stackrel{k)}{\dots }\times 1$.

-Hiperpezas tipo S: Consiste nunha peza tipo C que cortamos pola metade e desprazamos unha desas metades unha unidade unha dirección do hiperplano do corte que sexa perpendicular a unha das caras do hipercubo. Nota que a peza segue sendo conexa, xa que non podes levantar, ao non ser esa unha dirección do hiperplano do corte.

b) Supoñendo que é posible encher o hipercubo con estas pezas, cantas hiperpezas tipo L necesitamos como mínimo?

Nota: A suposición de que sexa posible encher o cubo/hipercubo é porque, para $n$ baixos, as pezas/hiperpezas necesarias ocupan máis que o propio cubo/hipercubo.

“Que gane o mellor!”

Se tedes algunha dúbida, podedes contactar á organización empregando o seguinte correo (mestrecazador@gmail.com).