APSMO-Olym-2023-S-P1B

Enunciado

Cando os bordos dun cubo aumentan nun $10\%$ a súa lonxitude, a súa área aumenta un $N\%$. Atopa $N$.

---

Resolución

Solución 1: Exemplo conveniente

Podemos empregar un cubo con dimensións que nos conveñan. Como queremos aumentar os seus bordos un $10\%$, é dicir, $\frac{1}{10}$, podemos comezar cun cubo cos bordos que midan $10$ cm. Cando aumentamos a lonxitude dos bordos un $10\%$, cada cara pasa de $10cm\cdot 10cm=100c{m}^2$ a $11cm\cdot 11cm=121c{m}^2$. É dicir, cada cara aumenta $121c{m}^2-100c{m}^2=21c{m}^2$. Isto ocorre nas $6$ caras, polo que aumentamos en $6\cdot 21c{m}^2$ a área (lembra que a área orixinal é $6\cdot 100c{m}^2=600c{m}^2$). Así só nos queda calcular a porcentaxe, dividindo o aumento entre a superficie orixinal: $\frac{6\cdot 21}{6\cdot 100}\cdot 100\%=\frac{6}{6}\cdot \frac{21}{100}\cdot 100\%=21\%.$

Solución 2: Pensamento lóxico

Para atopar a área do cubo, imos ver a área de cara cara. Como o cubo ten $6$ caras idénticas, a superficie será $6$ veces a dunha desas caras. Así, se o lado do cubo ten $x$ unidades de lonxitude, entón a superficie do cubo será de $6x^2$ unidades cadradas. Cando aumentamos os bordos un $10\%$ o incremento será de $(100\%\cdot x)+(10\%\cdot x)=110\%\cdot x=1.1x$ Despois do aumento, a superficie de cada de cada cara será $1.1x\cdot 1.1x=1.21x^2\text{ unidades cadradas.}$ Así, a área total será de $6\cdot 1.21x^2$ e podemos calcular a diferenza de áreas $6\cdot 1.21x^2-6x^2=6x^2(1.21-1)=6x^2\cdot \mathrm{0.21.}$ Por último, a porcentaxe sería: $\frac{6x^2\cdot 0.21}{6x^2}\cdot 100\%=0.21\cdot 100\%=21\%.$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!