AHSMC-2014-II-P4

Enunciado

Sexa $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteiros tal que $p(1)=5$ e $p(-1)=11$.

1. Pon un exemplo de $p(x)$ que teña unha raíz enteira.
2. Proba que se $p(0)=8$, entón $p(x)$ non ten raíces enteiras.

---

Resolución

Solución

1. Buscamos un polinomio con dous coeficientes indeterminados. O primeiro intento é $p(x)=ax+b$. Así $5=p(1)=a+b$ e $11=p(-1)=-a+b$, polo que $a=-3$ e $b=8$, pero a única raíz do polinomio sería $x=\frac{8}{3}$. Aínda así, é doado transformar o polinomio en $p(x)=8x^2-3x$, incluíndo a solución enteira $x=0$.
2. Supoñendo que $p(x)$ ten unha raíz enteira $x=r$. Entón $r-1$ divide $p(r)-p(1)=-5$, así que $r\in \{-4,0,2,6\}$. Tamén $r+1=r-(-1)$ divide $p(r)-p(-1)=-11$, polo que $r\in \{-12,-2,0,10\}$. Así, $r=0$, pero $p(0)=8$, polo que chegamos a unha contradición.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!