AHSMC-2017-II-P4

Enunciado

$ABCD$ é un cuadrilátero convexo tal que $\angle BAC=15^{\circ },\angle CAD=30^{\circ },\angle ADB=90^{\circ }\text{ e }\angle BDC=45^{\circ }$. Acha $\angle ACB$.

---

Resolución

Pista

Emprega a lei dos cosenos

Solución

Sexa $AD=a,DE=\frac{a}{\sqrt{(}3)},BE=a(1-\frac{1}{\sqrt{3}}),AB=a\sqrt{2}$. $△AEB$ é semellante a $△CED$, así $\frac{AB}{DC}=\frac{EB}{ED}$ e $DC=a\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$. Empregando a lei dos cosenos en $△BDC$: $B{C}^2=D{B}^2+D{C}^2-2DB\cdot DC\cos (45º)=$ $=a^2+\frac{a^2(8+4\sqrt{3})}{4}-2a^2\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=2a^2$ Por iso $BC=a\sqrt{2}$, que leva a saber que $△ABC$ é isósceles, polo que $\angle BCA=\angle BAC=15º$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!