AHSMC-2024-II-P1

Enunciado

Sexa $f$ unha función nos reais, tal que: $f(x^2)+(f(x){)}^2=6,\forall x\in \mathbb{R}$

1. Atopa todas as funcións constantes $f$.
2. Para todas as funcións $f$, atopa todos os posíbeis valores de $f(0)+f(1)$.

---

Resolución

Solución

1. Asumindo que $f(x)=a$, onde $a$ é unha constante, obtemos $a+a^2=6$, con solucións $a=2$ e $a=-3$.
2. A ecuación de arriba necesita ser certa para calquera valor de x, vexamos $x=0$: $6=f(0)+(f(0){)}^2$. Sendo $f(0)=a$, só pode ser 2 ou -3 coma vimos antes. Do mesmo xeito, collemos $x=1$, obtendo $6=f(1)+(f(1){)}^2$, polo que $f(1)$ pode ser 2 ou -3. Así, sabemos que $f(0)+f(1)$ pode ser igual a:

• $f(0)+f(1)=4$ con $f(x)=2$
• $f(0)+f(1)=-6$ con $f(x)=-3$
• $f(0)+f(1)=-1$ con, por exemplo:

-3 & \text{if } x \neq 0 \ 2 & \text{if }x =0 \end{cases}

undefined