AHSMC-2025-II-P3

Enunciado

Atopa todos os polinomios $P$ con coeficientes enteiros non negativos, tal que $P(1)=3,P(2)=37$

---

Resolución

Solución

Sexa $P(X)=a_0+a_{1}X+...+a_n{X}^n,$ onde $a_0,a_1,...,a_n$ son enteiros non negativos e $a_n>0$. Así, $a_0+a_1+a_2+...+a_3=3$ $a_0+2a_1+4a_2+...+2^n{a}_n=37$ Así só hai 3 formas de escribir 3 coma suma de dous números enteiros positivos: $3,2+1,1+1+1$. Por iso $P(X)$ ten que ser dalgunha das seguintes formas: $P(X)=3X^n$ $P(X)=2X^n+X{‘}^m$ $P(X)=X^n+X^m+X^l$ con $l,m,n$ enteiros non negativos. Nos tres casos $P(X)=X^n+X^m+X^l$ con $0\le l\le m\le n$. Por tanto, $37=2^n+2^m+2^l$ Como o 37 é impar, $l=0$ $36=2^n+2^m.$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!