AIME-1987-P5

Enunciado

Sexan $x,y\in \mathbb{Z}$ tales que $y^2+3x^2{y}^2=30x^2+517$. Atopar o valor de $3x^2{y}^2$.

---

Resolución

Pista

Usa o Simon’s Favorite Factoring Trick (SFFT).

Solución

Se aplicamos o SFFT considerando como as nosas variables a $y^2$ e $3x^2$ obtemos a seguinte factorización: $(3x^2+1)(y^2-10)=517-10=507=3\cdot 13^2$ Como estamos a traballar con enteiros, non queda outra que os factores primos de $507$ se “repartan” entre os dous factores que aparecen multiplicando no lado esquerdo.

Por un lado, $3x^2+1$ non é multiplo de $3$, polo que só é posible que sexa igual a $1$, $13$ ou $13^2$. Vexamos cada caso: $3x^2+1=1⟹x=0⟹y^2=517$ Pero $517$ non é un cadrado perfecto. $3x^2+1=13⟹x^2=4⟹y^2=49$ Esta posibilidade é valida, pois $4$ e $49$ son cadrados perfectos. $3x^2+1=13^2=169⟹x^2=56$ Tampouco é válida, porque $56$ non é un cadrado perfecto.

Así, o único caso posible é o segundo, logo $3x^2{y}^2=3\cdot 4\cdot 49=588$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar un man!