AIME-1998-P7

Enunciado

Encontra o número de 4-tuplas ordenadas $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ de números naturais impares tal que $x_1+x_2+x_3+x_4=98$.

---

Resolución

Pista

Intenta simplificar o problema tal que non traballemos con números impares.

Solución

Tendo en conta que todo número impar é da forma $2n-1$ con $n$ natural (pode ser tanto par como impar), podemos tomar $x_i=2y_i-1$, tal que:

$$98=\sum _{i=1}^4(2y_i-1)=2\left(\sum _{i=1}^4{y}_i\right)-4⟺\sum _{i=1}^4{y}_i=51.$$

Agora podemos concluir o problema cun argumento clásico de “barras e estrelas”:

Cada 4-tupla $(y_1,y_2,y_3,y_4)$ correspóndese cunha línea de 51 uns separados en catro conxuntos no vacíos por 3 ceros. Por exemplo, $(17,5,11,18)$ correspóndese con

$$111111111111111110111110111111111110111111111111111111.$$

Existen $51-1=50$ posibles ocos onde colocar os 3 ceros, polo que temos $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{3}\right)=19600$ posibles configuracións.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar un man!