AIME-1991-P5

Enunciado

Dado un número racional, $x=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$, escrito na súa forma irreducible, calculamos o produto do seu numerador e denominador, $p\cdot q$. Atopar para cantos valores de $x\in [0,1]$ o resultado de dito produto é $20!$.

---

Resolución

Solución

Como $x$ está en forma irreducible, non hai factores primos comúns no numerador e no denominador, $\text{mcd}(p,q)=1$. Como o resultado do produto é $20!$, este só contén os factores primos: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ e $19$. Como ademais cada un destes factores non pode coincidir no numerador e no denominador, só hai $2^8=256$ números que repartan estes $8$ factores primos entre ambos.

Agora só temos que ter coidado de buscar aqueles destes números tal que estén entre $0$ e $1$. Para isto dámonos conta de que se $\frac{p}{q}$ é un dos anteriores anteriores, entón $\frac{q}{p}$ tamén. Polo tanto, exactamente a metade, $128$ números, están entre $0$ e $1$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!