AMO-2015-I-P1

Enunciado

Sexan $a,b,c,d$ números positivos. Proba que $(a^2+b^2+c^2+d^2{)}^2\ge (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)$ Cando os valores son iguais?

---

Resolución

Solución

Coa desigualdade entre a media aritmética e xeométrica, temos $(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\le (\frac{(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+a)}{4}{)}^4$ $=2^4(\frac{a+b+c+d}{4}{)}^4$. Pol desigualdade entre as medias cuadrática e aritmética, temos $2^4(\frac{a+b+c+d}{4}{)}^4\le 2^4(\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}{)}^2$ $=(a^2+b^2+c^2+d^2{)}^2$ como é requerido. Na segunda inecuación, a igualdade dáse se e só se $a=b=c=d$, pero en tal caso, a igualdade tamén se dá na inecuación orixinal. Así, só se dá a igualdade no caso $a=b=c=d$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!