AMO-2015-I-P4

Enunciado

Un número de emerxencia policial é un enteiro positivo que remata cos díxitos 133. Proba que todo número de emerxencia policial ten un factor primo maior a 7. (En Austria o número de emerxencias da policía é o 133).

---

Resolución

Solución

Sexa $n=1000k+133$ un número de emerxencia policial e asumimos que todos os seus divisores primos valen como moito 7. Claramente, coma o último díxito de $n$ é impar e non divisíbel entre 5, $1000k+133=3^a{7}^b$ con $a,b$ enteiros maiores ou iguais a 0. Así, $3^a{7}^b\equiv 133$ (mod 1000). O que tamén implica que $3^a{7}^b\equiv 133\equiv 5$ (mod 8). Sabemos que $3^a$ é congruente con 1 ou 3 modulo 8 e $7^b$ é congruente con 1 ou 7 modulo 8. Para que o produto $3^a{7}^b$ sexa congruente con 5 modulo 8, $3^a$ debe ser congruente con 3 e $7^b$ con 7. Así concluimos que $a$ e $b$ teñen que ser impares. Tamén temos que $3^a{7}^b\equiv 133\equiv 3$ (mod 5). Coma $a$ e $b$ son pares, $3^a$ e $7^b$ son congruentes con 3 e 2 respectivamente modulo 5. Como nin $3^2$, $2^2$ ou $3\cdot 2$ son congruentes con 3 modulo 5, chegamos a unha contradición.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!