ANEM-LM-2324-TNum-P1

Enunciado

Demostra que se $2^n+1$ é primo entón $n$ é potencia de 2.

---

Resolución

Solución

Supoñamos que $n$ non é potencia de 2. Nese caso $n$ pode escribirse como produto de 2 enteiros, sendo un deles impar: $n=xy$ (sen perda da xeneralidade, $x$ será impar). Podemos reescribir entón $2^n+1$ como $(2^y{)}^x+1=(2^y{)}^x-(-1{)}^x$. Se $a=2^y$ podemos factorizar do seguinte xeito: $(a^x-(-1{)}^x)=(a+1)(a^{x-1}+a^{x-2}\cdot (-1)+a^{x-3}\cdot (-1{)}^2+\cdots a^1\cdot (-1{)}^{x-2}+(-1{)}^{x-1}),$ do que deducimos que $2^n+1$ non é primo.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar un man!