APMC-2000-P6

Enunciado

No espazo tridimensional $\mathbb{R}$, definamos unha 6-cruz como o sólido composto por un cubo unidade (un cubo con lado 1) central e 6 outros cubos unidades pegados a cada unha das súas caras. Un exemplo de 6-cruz e a figura composto polos cubos unidades centrados en $(0,0,0),(\pm 1,0,0),$ $(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)$.

Pódese cubrir todo o espazo tridimensional por 6-cruces de xeito tal que non compartan ningún punto interior entre si?

---

Resolución

Pistas

• Nótese que o problema é equivalente a estudar a situación no espazo discreto ${\mathbb{Z}}^3$. Pode resultar útil estudar primeiro o caso bidimensional.
• A resposta é afirmativa.
• Consideremos o caso bidimensional discreto, e dicir, ${\mathbb{Z}}^2$. Queremos cubrir o espazo mediante “4-cruces” discretas, que no son máis que cruces normais, cun centro e catro brazos, que podemos denominar norte, sur, leste e oeste. Como todo punto pertencerá a unha única cruz, temos que todo punto é centro, norte, sur, leste ou oeste. Con isto en mente, intenta asignar a cada punto un destes 5 postos de forma intelixente, tal que obteñas una configuración válida de 4-cruces.

Solución

Primeiro, nótese que, sen perda de xeneralidade, podemos considerar só as 6-cruces tal que os centros dos cubos unidade son puntos enteiros, é dicir, todas as súas coordenadas son números enteiros. Debido a isto, é suficiente con estudar só os puntos enteiros.

Asignemos a cada punto enteiro $(x,y,z)$ do espazo o índice $x+2y+3z(\text{mod }7)$, polo que todo punto enteiro terá asignado un valor enteiro entre 0 e 6, inclusives. Imos demostrar que se centramos unha 6-cruz en cada punto enteiro con índice 0, obtemos unha configuración válida.

Diremos que dous puntos enteiros son adxacentes se a distancia que os separa é exactamente 1. Todo punto enteiro ten outros 6 puntos enteiros adxacentes. Consideremos un punto enteiro arbitrario $\eta$ con índice $i\in \{0,1,2,3,4,5,6\}$, entón os puntos enteiros adxacentes teñen índices distintos entre sí con valor pertencente a $\{0,1,2,3,4,5,6\}\setminus \{i\}$, é dicir, valor distinto que $i$. Dito doutra forma: se consideramos un punto enteiro arbitrario e os seus adxacentes, os índices son todos distintos e cobren todas as opcións posibles.

Polo tanto, ou ben o punto $\eta$ ten índice nulo ou existe un único punto adxacente con índice 0. Coloquemos unha 6-cruz centrada en cada punto con índice 0 do espazo:

• Se $\eta$ ten índice nulo, entón existe unha 6-cruz centrada nel. Esta é a única 6-cruz que contén a $\eta$, xa que todos os puntos adxacentes teñen índice non nulo e por ende non son o centro dunha 6-cruz.
• Se $\eta$ ten índice non nulo, entón existe un único punto adxacente con índice nulo. Este punto é o centro dunha 6-cruz a cal contén a $\eta$ e ademais é a única, xa que ningún outro punto adxacente a $\eta$ ten índice 0.

En conclusión, todo punto enteiro pertence a unha única 6-cruz, polo que esta configuración é válida e a resposta á pregunta é afirmativa.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar un man!