BrMO-1997-P4

Enunciado

Sexa $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Os puntos medios de $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$ son $P$, $Q$, $R$ e $S$ respectivamente. Se a área do cuadrilátero $PQRS$ é $1$, probar que a do cuadrilátero $ABCD$ é 2.

---

Resolución

Solución

Tracemos as diagonais $\overline{AC}$ e $\overline{BD}$. Vexámolo no debuxo:

Consideremos os triángulos $△APS$ e $△ABD$. Como $P$ é o punto medio de $\overline{AB}$ e $S$ o de $\overline{AD}$, tense que $\overline{PS}$ é paralela a $\overline{BD}$ e que $\overline{PS}$ ten a metade da lonxitude de $\overline{BD}$.

Polo tanto, os triángulos $△APS$ e $△ABD$ son similares coas correspondentes lonxitudes de ratio 1 : 2. Así: $\text{aˊrea}(△APS)=\frac{1}{4}\cdot \text{aˊrea}(△ABD)$ Analogamente, temos que: $\text{aˊrea}(△BPQ)=\frac{1}{4}\cdot \text{aˊrea}(△BAC)$ $\text{aˊrea}(△CQR)=\frac{1}{4}\cdot \text{aˊrea}(△CBD)$ $\text{aˊrea}(△DRS)=\frac{1}{4}\cdot \text{aˊrea}(△DCA)$ Facendo uso disto coas áreas que aparecen no debuxo obtemos o seguinte:

$$\{\begin{array}{l}p+q=\frac{1}{4}(p+q+w+a+b+r)\\ r+s=\frac{1}{4}(r+s+q+b+c+t)\\ t+u=\frac{1}{4}(t+u+s+c+d+v)\\ v+w=\frac{1}{4}(v+w+u+d+a+p)\end{array}$$

Se agora sumamos estas ecuacións: $(p+q+r+s+t+u+v+w)=\frac{1}{4}\text{[}2(p+q+r+s+t+u+v+w)+2(a+b+c+d)\text{]}$ Sabendo que $a+b+c+d=1$, podemos despexar $p+q+r+s+t+u+v+w=1$, co que chegamos ao resultado.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar un man!