BrMO-2000-P2

Enunciado

Probar que para todo enteiro positivo $n$, $2000$ divide a $121^n-25^n+1900^n-(-4{)}^n.$

---

Resolución

Pista

Traballar con aritmética modular.

Solución

Notemos que $2000=2^4\cdot 5^3$, polo que bastará probar que a expresión é divisible por $2^4$ e por $5^3$, xa que son coprimos. Vexamos que é divisible por $16$ traballando en ${\mathbb{Z}}_{16}$ $121^n-25^n+1900^n-(-4{)}^n\equiv 9^n-9^n+12^n-(-4{)}^n(\text{mod}{\mathbb{Z}}_{16})\equiv$ $\equiv 0+(-4{)}^n-(-4{)}^n(\text{mod}{\mathbb{Z}}_{16})\equiv 0(\text{mod}{\mathbb{Z}}_{16})$ Fagamos o mesmo en ${\mathbb{Z}}_{125}$: $121^n-25^n+1900^n-(-4{)}^n\equiv (-4{)}^n-25^n+25^n-(-4{)}^n(\text{mod}{\mathbb{Z}}_{125})\equiv$ $\equiv 0(\text{mod}{\mathbb{Z}}_{125})$ Con estas congruencias xa temos o que buscabamos.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!