BrMO-2005-P1

Enunciado

Hay exactamente $2005$ pares ordenados $(x,y)$ que son solucións de $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{N},$ con $x,y,N\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Probar que $N$ é un cadrado perfecto.

---

Resolución

Pista

Modificar a ecuación para usar o SFFT e ver como calcular o número de solucións.

Solución

Primeiro desfacemos as fraccións multiplicando por $Nxy$: $Nx+Ny=xy$ Agora facemos a factorización SFFT e nos queda $(x-N)(y-N)=N^2$ Para contar o número de solucións para un certo $N$, podemos considerar a súa factorización en primos, que ao elevar ao cadrado o expoñente de cada un queda multiplicado por 2. $(x-N)(y-N)=p_1^{2{\alpha }_1}\cdot \dots \cdot p_k^{2{\alpha }_k}$ Agora só hai que ter en conta os posibles valores que pode tomar $x$. Estes son o produto de cada un dos primos elevados a un expoñente entre $0$ e $2{\alpha }_i$, para cada $p_i$.

Polo tanto hay $(2{\alpha }_1+1)\cdot \dots \cdot (2{\alpha }_k+1)$ combinacións, e cada unha correspóndese cunha solución. Así, como hai $2005$ solucións: $(2{\alpha }_1+1)\cdot \dots \cdot (2{\alpha }_k+1)=2005=5\cdot 401$ De aquí deducimos que, como ${\alpha }_i\ge 1$, $\forall i\in \{1,\dots ,k\}$, necesariamente $k\le 2$, pois $2005$ se factoriza en 2 primos.

Se $k=1$, $2{\alpha }_1+1=2005⟹{\alpha }_1=1002⟹N=(p_1^{501}{)}^2$ Se $k=2$, $(2{\alpha }_1+1)(2{\alpha }_2+1)=2005=5\cdot 401$ Da caracterización dun número primo, $p$ primo $⟺$ $[p\mid ab⟹p\mid a\text{ ou }p\mid b]$, deducimos que un dos factores é igual a $5$ e outro a $401$. Sen perdida de xeneralidade, podemos supor que o primeiro é igual a $5$. $2{\alpha }_1+1=5⟹{\alpha }_1=2$ $2{\alpha }_2+1=401⟹{\alpha }_2=200$ Logo $N=(p_1\cdot p_2^{100}{)}^2$, así que en ambos casos $N$ é un cadrado perfecto.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!