BrMO-2021-P1

Enunciado

Dicimos que un enteiro $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ é bo se existe un conxunto de divisores de $n$, contendo ao $1$, cuxos elementos sumen n. Probar que todo enteiro positivo ten un múltiplo que é bo.

---

Resolución

1ª Pista

Ver que se $n$ é bo, $2n$ é bo.

2ª Pista

Considerar a expresión en base $2$ dos enteiros.

Solución

Primeiro, notar que se $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ é bo, $2n$ tamén é bo (a excepción de $1$, que é bo e podemos ignorar). En efecto, sexan $a_1,\dots ,a_d$ divisores de n, incluíndo ao 1, que suman $n$ $S={\sum }_{i=1}^d{a}_i=n$ $\{a_i{\}}_{i=1}^d\bigcup \{n\}$ será o conxunto de divisores que buscamos para $2n$, pois $n\mid 2n$ e $n\notin \{a_i{\}}_{i=1}^d$ porque $n+1>n$.

Visto isto, bastará probar que todos os enteiros positivos impares, $m$, teñen un múltiplo bo da forma $2^{k}m$.

Para probalo expresemos $m$ en base $2$:$m={\sum }_{i=0}^{\lfloor lo{g}_2(m)\rfloor }{b}_i{2}^i,\text{con }{b}_i\in \{0,1\},\forall i\in \{0,\dots ,\lfloor lo{g}_2(m)\rfloor \}$ Poñamos $k=\lfloor lo{g}_2(m)\rfloor$ e vexamos que $2^{k}m$ é bo.

Denotemos por $I$ ao conxunto de índices entre $0$ e $k$ para os que $b_i$ é $1$ e por $J$ a $\{0,\dots ,k-1\}$. Temos que $k\in I$, e como $m$ é impar, $0\in I$. Ademais, $m=\sum _{i\in I}{2}^i$.

Por outro lado, $2^i\mid 2^{k}m$, $\forall i\in I$ e $2^{j}m\mid 2^{k}m$, $\forall j\in J$. Pois ben, bastará tomar o conxunto de divisores $D=\{2^i{\}}_{i\in I}\bigcup \{2^{j}m{\}}_{j\in J}$, que contén ao $1$ e non repite divisores. Para verificalo, fagamos simplemente a suma

$$\begin{array}{rl}\sum _{d\in D}d& =\sum _{i\in I}{2}^i+\sum _{j\in J}{2}^{j}m\\ & =m+m\sum _{j=0}^{k-1}{2}^j\\ & =m+m(2^k-1)\\ & =m(1+2^k-1)\\ & =2^{k}m.\end{array}$$

Solución

O 6 é un número bo: $6=1+2+3$. Calquera múltiplo dun número bo é bo. Sexa $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ un número bo. Entón existen $a_1,\dots ,a_k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ divisores de $n$ distintos tal que $n={\sum }_{i=1}^k{a}_i.$ Sexa $b\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Entón $\{b{a}_1,\dots ,b{a}_k\}$ son tal que $b{a}_i|bn$, $b{a}_i\ne b{a}_j,$ $\forall i,j\in \{1,\dots ,k\},$ $i\ne j,$ e $bn=b\left({\sum }_{i=1}^k{a}_i\right)={\sum }_{i=1}^{k}b{a}_i.$ Por tanto $bn$ é un número bo. Agora simplemente dado $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$, tomamos $6m$, que é múltiplo de $m$ e un número bo.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!