BrMO-2022-P2

Enunciado

Atopar todas as funcións $f:{\mathbb{Z}}^{+}⟶{\mathbb{Z}}^{+}$ que cumpren

$$\forall x,y\in {\mathbb{Z}}^{+},2yf(f(x^2)+x)=f(x+1)f(2xy).$$

---

Resolución

1ª Pista

Dar valores a $x$ e $y$ para gañar nova información.

2ª Pista

Probar que $f(x+1)-f(x)=m$ constante.

Solución

Comezamos tomando $x=y=1$ e $x=1$ por separado e obtemos que $2f(f(1)+1)=f(2{)}^2$ $2yf(f(1)+1)=f(2)f(2y),\forall y\in {\mathbb{Z}}^{+}$ Agora, substituíndo o valor de $2f(f(1)+1)$ da igualdade de arriba na de abaixo $yf(2{)}^2=f(2)f(2y),\forall y\in {\mathbb{Z}}^{+}$ De aquí deducimos que $f(2y)=f(2)y,\forall y\in {\mathbb{Z}}^{+}$ (enteiros pares).

Cambiando $x$ por $2x$ na igualdade do enunciado podemos aplicar esta nova propiedade de $f$ para os enteiros pares $2yf(f(4x^2)+2x)=f(2x+1)f(4xy)$ $2yf(f(2)2x^2+2x)=f(2x+1)f(2)2xy$ $2yf(2x(f(2)x+1))=f(2x+1)2xyf(2)$ $2xyf(2)(f(2)x+1)=f(2x+1)2xyf(2)$ É dicir, $f(2x+1)=f(2)x+1,\forall x\in {\mathbb{Z}}^{+}$ Recopilando, temos o seguinte:

$$\{\begin{array}{l}2f(f(1)+1)=f(2{)}^2\\ f(2x)=f(2)x,\forall x\in {\mathbb{Z}}^{+}\\ f(2x+1)=f(2)x+1,\forall x\in {\mathbb{Z}}^{+}\end{array}$$

Así obtemos que $f(2x+1)-f(2x)=f(2)x+1-f(2)x=1$ constante, polo que $f$ é unha “recta” de pendente $1$, polo menos a partir de $2$ ($2x\ge 2,\forall x\in {\mathbb{Z}}^{+})$. De momento, a excepción de $x=1$, sabemos que $f(x)=x+k$ para algún $k\in \mathbb{Z}$ descoñecido.

Para ver o valor de $k$ chega con usar a nova forma de f, por exemplo: $2x+k=f(2x)=f(2)x,\forall x\in {\mathbb{Z}}^{+}⟹x(f(2)-2)=k,\forall x\in {\mathbb{Z}}^{+}$ De onde deducimos que $k=0$, pois $f(2)=2+k$. Sabemos que $f(x)=x,\forall x\in {\mathbb{Z}}^{+}\setminus \{1\}$. Para ver que pasa en $1$ recuperamos a primeira igualdade de (1) $2f(f(1)+1)=f(2{)}^2⟹2f(f(1)+1)=2^2⟹f(f(1)+1)=2$E como $f(1)\ge 1$, entón $f(1)+1\ge 2$ e así $f(f(1)+1)=f(1)+1$. Quédanos que $f(1)=1$ e concluímos que f é a identidade, verificándoo na igualdade do enunciado.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!