CAMQ-2023-Col-P4

Enunciado

Consideremos a función polinomial $f(x)=2x^2-1$. Avalía e simplifica a seguinte expresión: $\underset{\text{2023}}{\underbrace{f\circ f\circ ...\circ f}}(\cos (\frac{\pi }{2^{2023}}))$

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Resolución

Pista

Revisa as identidades trigonométricas.

Solución

Da identidade trigonométrica $\cos (2\theta )=2{\cos }^2(\theta )-1$ (deducida de $\cos (A+B)=\cos (A)\cos (B)-\sin (A)\sin (B)$ con $A=B=\theta$ e ${\sin }^2(\theta )=1-{\cos }^2(\theta )$) observamos que: $f(\cos (\theta ))=\cos (2\theta )$ Substituíndo $\theta =\frac{\pi }{2^{2023}}$: $f(\cos (\frac{\pi }{2^{2023}}))=\cos (\frac{\pi }{2^{2022}})$ $f\circ f(\cos (\frac{\pi }{2^{2023}}))=\cos (\frac{\pi }{2^{2021}})$ … $\underset{\text{i}}{\underbrace{f\circ f\circ ...\circ f}}(\cos (\frac{\pi }{2^{2023}}))=\cos (\frac{\pi }{2^{2023-i}})$ … $\underset{\text{2023}}{\underbrace{f\circ f\circ ...\circ f}}(\cos (\frac{\pi }{2^{2023}}))=\cos (\frac{\pi }{2^{2023-2023}})=\cos (\pi )=-1$

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Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!