CAMQ-2025-Col-P5

Enunciado

A función $f(x)=x+2x^2+3x^3$ ten inversa, a cal denotamos por $f^{-1}.$ Calcula os seguintes valores:

• $f^{-1}(0).$
• $\frac{d(f^{-1})}{dx}(0).$
• $\frac{d(f^{-1})}{dx}(6).$
• $\frac{d^2(f^{-1})}{d{x}^2}(6).$

---

Resolución

Pista

Cómpre darse conta de que: $f^{-1}(f(x))=x.$

Solución

a) Pode verse que $x=0$ é raíz, polo que $f^{-1}(0)=0.$

b) Se derivamos a expresión da pista, obtemos $\frac{d(f^{-1})}{dx}(f(x))\cdot f^{\prime }(x)=1.$ Tomando $x=0$, $\frac{d(f^{-1})}{dx}(0)=1.$

c) Como $f(1)=6$, substituíndo por $x=1$ na expresión da derivada obtida en b): $\frac{d(f^{-1})}{dx}(6)=\frac{1}{14}.$

d) Derivando a expresión obtida en b), $\frac{d^2(f^{-1})}{d{x}^2}(f(x))\cdot (f^{\prime }(x){)}^2+\frac{d(f^{-1})}{dx}(f(x))\cdot f^{\prime \prime }(x)=0.$ Se tomamos $x=1$ nesta expresión, obtemos $\frac{d^2(f^{-1})}{d{x}^2}(6)\cdot (14{)}^2+\frac{d(f^{-1})}{dx}(6)\cdot 22=0.$ E por último, empregando o valor obtido en c), chegamos a $\frac{d^2(f^{-1})}{d{x}^2}(6)=-\frac{22}{14^3}=-\frac{11}{1372}.$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!