CGMO-2005-II-P5

Enunciado

Sexan $x,y$ números reais postivos con $x^3+y^3=x-y$. Proba que $x^2+4y^2<1$.

---

Resolución

Solución

Como $x^3+y^3>0$, $(x^2+4y^2)(x-y)<x^3+y^3$. Expandindo a parte esquerda da inecuación e cancelando termos, obtemos $4x{y}^2<x^{2}y+5y^3$. Pola desigualdade da media aritmética e xeométrica (AM-GM), temos $x^{2}y+5y^3\ge 2\sqrt{5}x{y}^2>4x{y}^2.$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!