CGMO-2006-D1-P1

Enunciado

A función $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$ satisfai as seguintes condicións:

• $f(a)=1$ sendo $a$ un número real positivo.
• $f(x)f(y)+f\left(\frac{a}{x}\right)f\left(\frac{a}{y}\right)=2f(xy),$ para calquera $x,y$ reais positivos. Proba que $f(x)$ é constante.

---

Resolución

Solución

Fixando $x=y=1$: $f^2(1)+f^2(a)=2f(1),(f(1)-1{)}^2=0⟹f(1)=1.$ Fixando $y=1$ na segunda condición: $f(x)f(1)+f\left(\frac{a}{x}\right)f(a)=2f(x),f(x)=f\left(\frac{a}{x}\right),x>0.$ E fixando $y=\frac{a}{x}:$ $f(x)f\left(\frac{a}{x}\right)+f\left(\frac{a}{x}\right)f(x)=2f(a),f(x)f\left(\frac{a}{x}\right)=1.$ Combinando estas dúas últimas ecuacións obtemos: $f^2(x)=1,x>0.$ Fixando $x=y=\sqrt{t}$ no enunciado: $f^2(\sqrt{t})+f^2\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)=2f(t),f(t)>0$ Así $f(x)=1$, x>0, como queriamos.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!