CMO-1982-P2

Enunciado

Sexan $a,b$ e $c$ as tres raíces da ecuación $x^3-x^2-x-1=0$.

1. Proba que $a$, $b$ e $c$ son distintos entre si.
2. Proba que

$$\frac{a^{2024}-b^{2024}}{a-b}+\frac{b^{2024}-c^{2024}}{b-c}+\frac{c^{2024}-a^{2024}}{c-a}\in \mathbb{Z}.$$

---

Resolución

Pista

Emprega as fórmulas de Cardano-Vieta.

Solución

Aplicando as fórmulas de Cardano-Vieta o polinomio $x^3-x^2-x-1$, temos que

$$\{\begin{array}{rl}& a+b+c=1,\\ & ab+ac+bc=-1,\\ & abc=1.\end{array}$$

Supoñamos que $a=b=c$, entón a primeira fórmula de Cardano-Vieta temos que $a=b=c=\frac{1}{3}$. Se substituímos este valor na terceira ecuación, obtemos que $abc=\frac{1}{27}=1$, unha contradición. Supoñamos entón que $a=b\ne c$. Substituíndo na primeira ecuación obtemos que $2a+c=1$, polo que $c=1-2a$. Substituíndo na segunda ecuación temos que $-1=a^2+2ac=a^2+2a(1-2a)=-3a^2+2a+1⟹a=1\text{ ou }a=\frac{-1}{3}$. Agora ben, ningún destes dous valores e raíz do polinomio, polo que chegamos a unha contradición. Concluímos que $a,b,c$ son distintos entre sí, polo que terminamos o primeiro apartado.

Consideremos o segundo apartado. A clave do exercicio é usar que $a,b,c$ son raíces do polinomio, polo que $a^3=a^2+a+1$, e multiplicando por unha potencia de $a$:

$$a^{2024}=a^{2023}+a^{2022}+a^{2021},$$

e análogo para $b$ e $c$.

Nótese que entón:

$$\begin{gathered} \frac{a^{2024}-b^{2024}}{a-b}=\frac{a^{2023}+a^{2022}+a^{2021}-b^{2023}-b^{2022}-b^{2021}}{a-b}= \\ \frac{a^{2023}-b^{2023}}{a-b}+\frac{a^{2022}-b^{2022}}{a-b}+\frac{a^{2021}-b^{2021}}{a-b}. \end{gathered}$$

Polo tanto, se definimos $\eta (n):=\frac{a^n-b^n}{a-b}$, temos que

$$\eta (2024)=\eta (2023)+\eta (2022)+\eta (2021).$$

Analogamente, se $S_n=\frac{a^n-b^n}{a-b}+\frac{b^n-c^n}{b-c}+\frac{c^n-a^n}{c-a}$ entón $S_{n+3}=S_{n+2}+S_{n+1}+S_n$. Polo tanto, se garantimos que $S_0,S_1$ e $S_2$ son enteiros, entón todos os $S_n$ o serán, en particular $S_{2024}$.

$$\begin{gathered} S_0=0+0+0\in \mathbb{Z}, \\ {S}_1=\frac{a-b}{a-b}+\frac{b-c}{b-c}+\frac{c-a}{c-a}=1+1+1\in \mathbb{Z}, \\ {S}_2=\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}+\frac{(b-c)(b+c)}{b-c}+\frac{(c-a)(c+a)}{c-a}= \\ a+b+b+c+c+a=2(a+b+c)=2\in \mathbb{Z}, \end{gathered}$$

onde a última igualdade é debido á primeira fórmula de Cardano-Vieta. Concluímos que $S_{2024}$ é enteiro.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!