EKC-1934-P3

Enunciado

Consideremos unha familia infinita de rectángulos no plano cartesiano, cada un con vértices da forma $(0,0),(r,0),(0,s)$ e $(r,s)$, con $r,s\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Demostra que existen dous rectángulos da familia tal que un contén ao outro.

---

Resolución

Pista

Considera o rectángulo de menor anchura (ou altura) e pensa que ten que pasar para que este contido ou non nalgún outro rectángulo.

Solución

Como a anchura dos rectángulos son números naturais, entón existe un rectángulo $A$ con anchura mínima, sexa $R$, e consideremos a altura dese mesmo rectángulo, sexa $S$. Se existese outro rectángulo $B$ con altura maior o igual a $S$, entón $B\supset A$, tal como queremos.

Supoñamos que non existe tal rectángulo $B$, entón todos os rectángulos distintos de $A$ teñen altura enteira entre 1 e $S-1$, entón polo principio do pombal existen al menos dous rectángulos coa mesma altura, polo que al menos un contendrá ó outro.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!