EKC-1935-P3

Enunciado

Sexa $V$ un grafo conexo finito. Asignemos un número real a cada vértice, tal que para calquera vértice o seu número asociado é a media aritmética dos números dos vértices adxacentes. Proba que todos os vértices teñen o mesmo número asociado.

---

Resolución

Pista

Considera o vértice co número asociado maior e estuda os vértices adxacentes.

Solución

Como o grafo é finito, existe un número asociado máximo, sexa $M$. Consideremos un vértice $A_1$ asociado a $M$ (poden existir varios, eliximos calquera). Sexan $n_1,\dots ,n_s$ os números asociados ós vértices adxacentes a $A_1$, entón temos que

$$\frac{n_1+\cdots +n_s}{s}=M.$$

Agora ben, como $M$ é máximo sabemos que $M\ge n_1,\dots ,n_s$, polo que a única forma de que se cumpra o anterior é que $n_1=\cdots =n_s=M$. Como o grafo é finito e conexo, aplicando este procedemento un número finito de veces podemos probar que todos os números son iguais a $M$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!