EKC-1939-P1

Enunciado

Sexan $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in \mathbb{R}$ tal que $a_1{a}_2>0$, $a_1{c}_1\ge b_1^2$ e $a_2{c}_2\ge b_2^2$. Demostra que $(a_1+a_2)(c_1+c_2)\ge (b_1+b_2{)}^2.$

---

Resolución

Pista

Expande $(a_1+a_2)(c_1+c_2)$ e $(b_1+b_2{)}^2$, e compara ambas expresións. Recorda a desigualdade AM-GM

$$\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1\dots x_n}.$$

Solución

Expandindo o lado esquerdo da desigualdade a demostrar e tendo en conta que $a_1{c}_1\ge b_1^2$ e $a_2{c}_2\ge b_2^2$, obtemos

$$a_1{c}_1+a_1{c}_2+a_2{c}_1+a_2{c}_2\ge b_1^2+a_1{c}_2+a_2{c}_1+b_2^2.$$

Como $(b_1+b_2{)}^2=b_1^2+2b_1{b}_2+b_2^2$, podemos ver que se $a_1{c}_2+a_2{c}_1\ge 2b_1{b}_2$ entón teríamos demostrada a desigualdade. Intentemos probar isto último.

Primeiro, cómpre notar que podemos supoñer sen perda de xeneralidade que $b_1,b_2\ge 0$: as desigualdades $a_j{c}_j>b_j^2$ non dependen do signo de $b_j$, e se $(a_1+a_2)(c_1+c_2)\ge (b_1+b_2{)}^2$ para $b_1,b_2>0$ entón cumpriríase para calquer signo dos $b_j$, xa que o RHS (a cota inferior) maximízase cando ambos $b_j$ son positivos.

Supoñamos que $a_1>0$, entón $a_2>0,c_1,c_2\ge 0$ debido as condicións do enunciado. Obviamente $a_1{c}_2,a_2{c}_1>0$, polo que podemos aplicar a desigualdade AM—GM, obtendo:

$$a_1{c}_2+a_2{c}_1\ge 2\sqrt{a_1{c}_2{a}_2{c}_1}\ge 2\sqrt{b_1^2{b}_2^2}=2b_1{b}_2,$$

o que demostra a desigualdade polo comentado no primeiro parágrafo. Nótese que é necesario ter en conta que podemos supoñer $b_1,b_2\ge 0$, xa que senón aparecerían unos valores absolutos al cancelar a ráiz cadrada cos cadrados.

Análogamente, se $a_1<0$ entón $a_2<0,c_1,c_2\le 0$, polo que $a_1{c}_2,a_2{c}_1>0$ e podemos aplicar de novo AM—GM, obtendo o mesmo resultado.

Solución

Supoñamos que $b_1,b_2\ge 0$ sen perda de xeneralidade. Debido a desigualdade de Cauchy-Schwarz

$$\begin{array}{rl}(a_1+a_2)(c_1+c_2)& =\left[{\left(\sqrt{|a_1|}\right)}^2+{\left(\sqrt{|a_2|}\right)}^2\right]\left[{\left(\sqrt{|c_1|}\right)}^2+{\left(\sqrt{|c_2|}\right)}^2\right]\\ & \ge {\left(\sqrt{|a_1|}\sqrt{|c_1|}+\sqrt{|a_2|}\sqrt{|c_2|}\right)}^2\\ & ={\left(\sqrt{|a_1{c}_1|}+\sqrt{|a_2{c}_2|}\right)}^2\\ & \ge {\left(\sqrt{b_1^2}+\sqrt{b_2^2}\right)}^2\\ & =(b_1+b_2{)}^2.\end{array}$$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!