FEHTST-E2_12_7

Enunciado

Sexan $h:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ continua e $f:{\mathbb{R}}^{+}\times {\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ tales que $f(tx,ty)=h(t)f(x,y)$. Calcular $h(t)$.

---

Resolución

1ª Pista

Intenta calcular $h(t^n)$ en función de $h(t)$.

2ª Pista

Podes reducir a ecuación funcional sobre $h$ á ecuación funcional de Cauchy ou a unha delas?

Solución

É fácil ver que $h(t^n)=h(t{)}^n$ aplicando a propiedade a $f(t^{n}x,t^{n}y)$ de golpe e paso a paso. Ademais, $h(1)f(x,y)=f(x,y)=h\left(\frac{1}{t}\right)f(tx,ty)=h\left(\frac{1}{t}\right)h(t)f(x,y)$, polo que $h(1)=1=h\left(\frac{1}{t}\right)h(t)$ Considerando $g=\log \circ h\circ \exp$, sabemos que $g(nx)=ng(x)$. $g(-x)=-g(x)$ e que $g$ é continua. Polo tanto, $g$ é solución da ecuación funcional de Cauchy e $g(x)=ax$ para algún $a\in \mathbb{R}$. Así, $h(t)=t^a,\forall t\in {\mathbb{R}}^{+}$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!