IGO-2018-Elem-P4

Enunciado

Temos dúas circunferencias de centros $O_1,O_2$ inscritas nunha circunferencia $\omega$ de forma que son tanxentes á maior. A corda $AB$ de $\omega$ é tanxente ás circunferencias con centros $O_1,O_2,$ de forma que cada unha estea nun lado da corda. Proba que $\angle O_{1}A{O}_2+\angle O_{1}B{O}_2>90^{\circ }.$

---

Resolución

Solución

Sexan $AC$ e $BC$ segmentos tanxentes á circunferencia de centro $O_1$ e, analogamente, $AD$ e $BD$ segmentos tanxentes á circunferencia de centro $O_2$. Isto é o mesmo que construír os triángulos $ABC$ e $ABD$ que teñen coma circunferencia inscrita a de centro $O_1$ e $O_2$ respectivamente. É suficiente probar que $\angle CAD+\angle CBD>180^{\circ }$ ou o que é o mesmo, probar que $\angle ACB+\angle ADB<180^{\circ }.$ Sabemos que $C$ e $D$ están na rexión exterior da circunferencia $\omega$. Así, sabemos que se $X$ e $Y$ son puntos de $\omega$, $\angle ACB<\angle AXB$ e $\angle ADB<\angle AYB$ por ser ángulos exteriores. Pero tamén sabemos que $\angle AXB+\angle AYB=180^{\circ }.$ Polo tanto, concluímos que $\angle ACB+\angle ADB<180^{\circ }$ probando o enunciado.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!