IMO-1959-LL-CZS-P1

Enunciado

Téñense $n>3$ puntos no plano tal que non hai 3 deles que sexan colineares. Existe un círculo pasando por (polo menos) 3 puntos tal que non conteña a ningún outro dos $n$ puntos no seu interior?

---

Resolución

Pista

Podemos atopar puntos $A$ e $B$ tal que tódolos demais están a un lado da recta $\overline{AB}$. Como buscamos o punto que nos falta?

Solución

Si. Podemos atopar puntos $A$ e $B$ tal que tódolos demais están a un lado da recta $\overline{AB}$. Dos demais, escollemos o punto $C$ tal que o ángulo $\widehat{ACB}$ sexa o maior posible.

Só resta comprobar que o círculo que pasa por $A$, $B$ e $C$ cumpre efectivamente que non ten puntos do conxunto no seu interior. En particular, se existise un punto $D$ no interior do círculo, como $D$ estaría no mesmo lado da recta $\overline{AB}$ que o punto $C$ entón o ángulo $\widehat{ADB}$ tería que ser maior que o ángulo $\widehat{ACB}$, chegando a un absurdo coa elección de $C$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!