IMO-1985-LL-VIE-P3

Enunciado

Atopar todas as función $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ que verifican: $\forall x,y\in \mathbb{R},f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\text{ e }{\lim }_{x\to \infty }f(x)=0.$

---

Resolución

Pistas

1. Tomar $y=0$.
2. Buscar un absurdo se $f(0)=1$.

Solución

Tomamos $y=0$ e quédanos que: $$f(x)+f(x)=2f(x)f(0), \quad \forall x \in \mathbb{R} \iff \left{

\begin{array}{c}

f(x)=0, \quad \forall x \in \mathbb{R}\ \text{ou} \

f(0)=1

\end{array} \right.$$

$f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$ é claramente válida, así que supoñamos que $f(0)=1$.

Demos agora a $y$ o valor $x$, é dicir $x=y$ $f(x+x)+f(x-x)=2f(x)f(x),\forall x\in \mathbb{R}⟹f(2x)+1=2f(x{)}^2,\forall x\in \mathbb{R}$

Simplemente tomando límites temos

${\lim }_{x\to \infty }f(2x)+1=1=0={\lim }_{x\to \infty }2f(x{)}^2\text{,}$

o cal é un absurdo pois $1\ne 0$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!