IMO-2020-SH-A3

Enunciado

Sexan $a,b,c,d\in {\mathbb{R}}^{+}$ tales que $(a+c)(b+d)=ac+bd$. Atopa o valor mínimo posible de $S=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$

---

Resolución

Pista

Intenta usar a desigualdade aritmético-xeométrica (AM-GM) de xeito que podas aproveitar a condición sobre $a,b,c,d$.

Solución

Aplicando AM-GM,

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 2\frac{\sqrt{ac}}{\sqrt{bd}}+2\frac{\sqrt{bd}}{\sqrt{ac}}=\frac{2(ac+bd)}{\sqrt{abcd}}$

Agora podemos usar que $(a+c)(b+d)=ac+bd$

$\frac{2(ac+bd)}{\sqrt{abcd}}=\frac{2(a+c)(b+d)}{\sqrt{abcd}}\ge 2\frac{2\sqrt{ac}\cdot 2\sqrt{bd}}{\sqrt{abcd}}=8$

Para volver as desigualdades igualdades, necesitamos que $a=c$ e $b=d$, polo que $(a+c)(b+d)=ac+bd$ pasa a ser $4ab=a^2+b^2$, que se pode transformar en $4\frac{a}{b}={\left(\frac{a}{b}\right)}^2+1$ e que é certa se e só se $\frac{a}{b}=2\pm \sqrt{3}$. Así, tomando $a=c=1$ e $b=d=2+\sqrt{3}$, $S=8$, alcanzando o seu mínimo valor posible.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!