IMO-2022-P2

Enunciado

Atopar $f:{\mathbb{R}}^{+}⟶{\mathbb{R}}^{+}$ tal que para cada $x\in {\mathbb{R}}^{+}$ existe un único $y\in {\mathbb{R}}^{+}$ de tal xeito que $xf(y)+yf(x)\le 2$

---

Resolución

Pista

Só hai unha posibilidade para ser parella de cada $x\in {\mathbb{R}}^{+}$.

Solución

Supoñamos que $y\ne x$ é a única parella de $x\in {\mathbb{R}}^{+}$. Entón $x$ non é parella de $x$. Así: $xf(x)+xf(x)=2xf(x)>2\Rightarrow f(x)>\frac{1}{x}$ Isto implica que $xf(y)+yf(x)>\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2$ Polo que chegamos a unha contradición. Así cada real positivo só está emparellado consigo mesmo. Isto implica que $f(x)\le 1/x$ para todo $x\in {\mathbb{R}}^{+}$. Vexamos que de feito $f(x)=1/x$.

Por redución ao absurdo existe $x\in {\mathbb{R}}^{+}$ tal que $xf(x)=1-\delta <1$ con $\delta >0$. Consideremos $x+ϵ$ con $ϵ>0$ e vexamos que se o tomamos o suficientemente pequeno podemos atopar outra parella de $x$. $xf(x+ϵ)+(x+ϵ)f(x)=xf(x+ϵ)+xf(x)+ϵf(x)<\frac{x}{x+ϵ}+1-\delta +ϵf(x)<2$ Onde no último paso escollimos $ϵ>0$ de tal xeito que $ϵf(x)<\delta$. Con isto obtemos a contradición desexada xa que $x+ϵ$ tamén é parella de x.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!