IMOmath-In-S1-P3

Enunciado

Sexan $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}$. Sabendo que $a^2+b^2+c^2=1$, atopar o valor mínimo de

$$\frac{a^2{b}^2}{c^2}+\frac{a^2{c}^2}{b^2}+\frac{b^2{c}^2}{a^2}.$$

---

Resolución

Pista

Lembrar que $\forall x,y\in \mathbb{R},x^2+y^2\ge 2xy$.

Solución

Tendo en conta que $\forall x,y\in \mathbb{R},x^2+y^2\ge 2xy$, obtemos as 3 seguintes desigualdades: \frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\geq 2\frac{abac}{cb}=2a^2,$$$$\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}\geq 2b^2, $\frac{b^2{c}^2}{a^2}+\frac{a^2{c}^2}{b^2}\ge 2c^2.$ Sumando as tres expresións e considerando a hipótese, temos que $2\left(\frac{a^2{b}^2}{c^2}+\frac{a^2{c}^2}{b^2}+\frac{b^2{c}^2}{a^2}\right)\ge 2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2.$ Polo tanto 1 é unha cota inferior da suma que buscamos minimizar. Para ver que este valor é o mínimo, basta convertir as desigualdades iniciais en igualdades, tendo en conta que $x^2+y^2=2xy⟺x=y$. Así, $\frac{a^2{b}^2}{c^2}+\frac{a^2{c}^2}{b^2}=2a^2⟺\frac{a^2{b}^2}{c^2}=\frac{a^2{c}^2}{b^2}⟺b=c,$ $\frac{b^2{c}^2}{a^2}+\frac{a^2{b}^2}{c^2}=2b^2⟺\frac{b^2{c}^2}{a^2}=\frac{a^2{b}^2}{c^2}⟺a=c,$ $\frac{b^2{c}^2}{a^2}+\frac{a^2{c}^2}{b^2}=2c^2⟺\frac{b^2{c}^2}{a^2}=\frac{a^2{c}^2}{b^2}⟺a=b.$ O valor mínimo dase en $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!