IMOmath-In-S1-P4

Enunciado

Sexan $x,y\in \left(0,1\right)$. Demostrar que $\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{1-y^2}\ge \frac{2}{1-xy}.$

---

Resolución

Pista

Como ferramenta básica para os problemas con desigualdades, usarase que $\forall x,y\in \mathbb{R}$, $a^2+b^2\ge 2ab$, tendo a igualdade se, e só se, $a=b$. Para probalo basta usar que $a^2\ge 0,\forall a\in \mathbb{R}$ e que $a^2=0⟺a=0$, tomando $a=(x-y)$.

Solución $a^2+b^2\ge 2ab,\forall a,b\in \mathbb{R}$. Se tomamos $a^2=\frac{1}{1-x^2}e{b}^2=\frac{1}{1-y^2}$, entón temos que $\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{1-y^2}\ge \frac{2}{\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}}=\frac{2}{\sqrt{\left(1-x^2-y^2+x^2{y}^2\right)}},$ que é válido porque $x,y\in \left(0,1\right)⟹\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)>0$. Agora ben, usando o mesmo argumento inicial, $x^2+y^2\ge 2xy⟹-x^2-y^2\le -2xy⟹\frac{1}{-x^2-y^2}\ge \frac{1}{-2xy}.$ Así, usando a monotonía da raíz cadrada, temos o resultado: $\frac{2}{\sqrt{\left(1-x^2-y^2+x^2{y}^2\right)}}\ge \frac{2}{\sqrt{\left(1-2xy+x^2{y}^2\right)}}=\frac{2}{\sqrt{{\left(1-xy\right)}^2}}=\frac{2}{1-xy}.$

Farase uso de que

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!