IZHO-2022-D1-P1

Enunciado

Sexan $P,Q,R\in \mathbb{R}[X]$ polinomios non nulos con coeficientes reais tal que: $P(x)+Q(x)+R(x)=P(Q(x))+Q(R(x))+R(P(x))=0\forall x\in \mathbb{R}.$ Demostra que os graos dos tres polinomios son pares.

---

Resolución

Pista

Os tres polinomios teñen o mesmo grao.

Solución $n$ o maior grao dos tres polinomios, e sexan $a,b,c$ os coeficientes do término $x^n$ de $P(x),Q(x)$ e $R(x)$ respectivamente. Nótese que a priori estes coeficientes poden ser algúns nulos, aínda que ten que haber al menos un que sexa non nulo.

Sexa

Considerando o coeficiente de $x^n$ de $P(x)+Q(x)+R(x)$ e o coeficiente de $x^{n^2}$ de $P(Q(x))+Q(R(x))+R(P(x))$, obtemos o sistema:

$$\{\begin{array}{l}a+b+c=0,\\ a{b}^n+b{c}^n+c{a}^n=0.\end{array}$$

Considerando que a primeira igualdade e tendo en conta que al menos un dos sumandos e no nulo, podemos concluír que al menos dous sumando son no nulos. Vexamos entón que os tres sumandos son no nulos, e dicir, $a,b,c\ne 0$. Supoñamos que $a,b\ne 0$ e $c=0$, entón substituíndo na segunda ecuación obtemos que $a{b}^n=0$, que é unha contradición xa que supoñemos que $a,b\ne 0$. Concluímos que $a,b,c\ne 0$ e por tanto os tres polinomios teñen grado $n$.

Só queda probar que $n$ é par, é utilizaremos redución ao absurdo. Supoñamos que $n$ é impar. Sen perda de xeneralidade podemos supoñer tamén que $a,b>0$ e $c<0$ (en caso contrario multiplicamos por $-1$ os tres polinomios e listo). Entón temos que $c=-(a+b)<0$ e polo tanto $0<a,b<|c|$. Como $n$ é impar, temos que $b{c}^n,c{a}^n<0$, por ende:

$|b{c}^n+c{a}^n|>|b{c}^n|=|c|\cdot b\cdot |c{|}^{n-1}>a\cdot b\cdot b^{n-1}=a{b}^n,$ e polo tanto $a{b}^n+b{c}^n+c{a}^n<0$ que obviamente é unha contradición. Concluímos que $n$ é par.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!