IZHO-2023-D2-P4

Enunciado

Consideremos $n>2$ números reais (non necesariamente distintos) con suma nula. Para cada unha das $2^n-1$ formas de escoller algúns dos $n$ números orixinais (al menos un), calculamos a suma dos números escollidos. Organizamos os resultados de estas sumas de maior a menor. Se $S$ é a maior suma, cal é o valor mínimo posible da segunda maior suma?

---

Resolución

Pista

Obtén o valor de $S$ en función dos $n$ números orixinais. A partir de aquí, deberías de ser capaz de ver que hai dous posibles valores para a segunda maior suma.

Solución

Organicemos os $n$ números orixinais como $a_1\le a_2\le \cdots \le a_m<0<b_1\le b_2\le \cdots \le b_k,$ onde obviamente $m+k=n$. Nótese que $m$ e $k$ teñen que ser enteiros positivos, ya que en caso contrario a suma de todos os números non podería ser nula, o que contradí o enunciado.

Con esta ordenación en mente, debería estar claro que $S=b_1+\cdots +b_k$, e a segunda maior suma ten que ser ou ben $b_2+\cdots +b_k$ ou $a_m+b_1+\cdots +b_k$. Máis concretamente, a segunda maior suma será $b_1+\cdots +b_k-c=S-c$ con $c=\min (b_1,|a_m|)$.

Entón limitar inferiormente a segunda maior suma é equivalente a limitar superiormente o valor $c$, polo que imos centrarnos nisto último.

Como $S=b_1+\cdots +b_k$ e $b_1\le \cdots \le b_k$, temos que $S\ge k{b}_1\ge kc$, polo que $c\le \frac{S}{k}$. Por outra banda, nótese que como $a_1+\cdots +a_m+b_1+\cdots +b_k=0$, entón $S=b_1+\cdots +b_k=-a_1-\cdots -a_m$, polo que $S\ge m|a_m|\ge mc$ e por tanto $c\le \frac{S}{m}$. Temos entón que $c\le \min (\frac{S}{k},\frac{S}{m}).$ Agora ben, como $m+k=n$, entón ou ben $m\ge \lceil \frac{n}{2}\rceil$ ou $k\ge \lceil \frac{n}{2}\rceil$, polo que $c\le \min (\frac{S}{k},\frac{S}{m})\le \frac{S}{\lceil \frac{n}{2}\rceil },$ e polo tanto $S-c\ge S-\frac{S}{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$.

Por último, faltaría comprobar que para todo $n>2$, existe unha elección de $n$ números reais que cumpre as condicións do enunciado tal que a segunda maior suma sexa igual a $\frac{S}{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$. Dado un $S>0$ calquera, podemos deseñar a seguinte configuración válida:

$$\stackrel{\times \lfloor \frac{n}{2}\rfloor }{\overbrace{-\frac{S}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor },\cdots ,-\frac{S}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }}},\stackrel{\times \lceil \frac{n}{2}\rceil }{\overbrace{\frac{S}{\lceil \frac{n}{2}\rceil },\cdots ,\frac{S}{\lceil \frac{n}{2}\rceil }}}$$

Nótese que temos $n$ números reais con suma nula, obviamente a suma de todos os positivos e $S$ e $S-c=S-\min (b_1,|a_m|)=S-\frac{S}{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$, tal como queriamos.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!