NZMO-2024-II_5

Enunciado

Determina o menor número real L tal que: $\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}\le L$ para $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ que satisfagan $1<a<b<c<d$

---

Resolución

Solución $L=3$ é válido e despois que non pode ser $L<3$.

Primeiro probaremos que

• Consideremos dous casos $b=a+1$ e $b\ge a+2$. Se $b\ge a+2$ entón: \frac{1}{a} +\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{d} \leq \frac{1}{a}+\frac{a}{a+2} +$$$$+ \frac{b}{c} +\frac{c}{d} < \frac{1}{a}+\frac{a}{a+2} + 1 +1 = \frac{2-a}{a(a+2)} \leq 3 O denominador $(2-a)$ é non positivo porque $1<a$ e $a\in \mathbb{Z}$. Se $b=a+1$ entón: $\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}=\frac{1}{a}+\frac{a}{a+1}+\frac{a+1}{c}+\frac{c}{d}<$ $<\frac{1}{a}+\frac{a}{a+1}+\frac{a+1}{c}+1\le \frac{1}{a}+\frac{a}{a+1}+\frac{a+1}{a+2}+1=$ $=\frac{2-a^2}{a(a+1)(a+2)}+3<3$ O denominador $(2-a^2)$ é non positivo porque $1<a$ e $a\in \mathbb{Z}$.
• Supoñemos que $\exists L^{\prime }<3$ que funciona e collemos $a,b,c,d$ tal que sexan grandes enteiros consecutivos. Se $L^{\prime }=3-ϵ,ϵ>0$, e así $\exists n\in \mathbb{Z}$ tal que $n>\frac{3}{ϵ}$. Isto asegura que $\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+2}\text{ e }\frac{1}{n+3}$ son máis pequenos que $\frac{ϵ}{3}$. Agora consideremos $(a,b,c,d)=(n,n+1,n+2,n+3)$. $\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}=\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}+\frac{n+2}{n+3}=$

$=3-(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3})>3-(\frac{ϵ}{3}+\frac{ϵ}{3}+\frac{ϵ}{3})=L^{\prime }$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!