OFEM-2025-P1

Enunciado

Alba escribe un enteiro positivo $a$. A continuación, Nuria escolle un enteiro positivo $n$. Despois Nuria calcula a suma $S$ de todos os números comprendidos entre $n$ e $n+a-1$, ambos incluídos. Se $S$ é par, Nuria gaña. Para que valores de $a$ pode Nuria escoller algún número que lle asegure gañar? (Lembra: ten que demostar que Nuria gaña cos valores que indicas, e que perde con calquera outro.)

---

Resolución

Solución

Vexamos que Nuria gaña se e só se $a$ non é do tipo $4k+2$ con $k\in \mathbb{Z}$ (ou equivalentemente que $a\not\equiv 2$ (mod $4$)). É doado darse conta de que $a$ representa a cantidade de sumando na suma $S$, sendo $n$ o menor deles. Se $a=4k$, podemos proceder agrupando aos $4k$ sumandos da suma $S$ en $k$ bloques, cada un coa suma de 4 enteiros consecutivos. Cada unha destas sumas é entón par, de modo que $S$ tamén o será, e polo tanto Nuria gaña, calquera que sexa a elección que faga do seu número $n$. Se $a$ non é múltiplo de 4, $a=4k+r$, con $r\in \{1,2,3\}$. Varrendo posibilidades,

• Se $a=4k+1$, teremos $S=n+(n+1)+\cdots +(n+4k)=[n+(n+1)+\cdots +(n+4k)]=n+S^{\prime }.$ Como $S^{\prime }$ pode descompoñerse en bloques de sumando de $4$ enteiros consecutivos, $S^{\prime }$ sempre é par, de modo que Nuria pode gañar escollendo un enteiro $n$ par.
• Se $a=4k+2,$ podemos considerar a suma $S$ por unha parte dos dous primeiros sumandos $n$ e $n+1$ que suman $2n+1$, que é impar, e agrupar os $4k$ restantes en bloques de catro enteiros consecutivos, que terán suma par. Polo tanto $S$ será sempre impar, independentemente de cal sexa a elección de $n.$ Nuria perde sempre.
• Por último, se $a=4k+3$ procedendo como no apartado anterior, vemos que a paridade de $S$ depende soamente da paridade da suma dos tres sumandos máis pequenos (que son $n$, $n+1$ e $n+2$, os cales suman $3n+3$), pois a suna dos restantes sumandos será seguro par; Nuria gañará escollendo $n$ impar, que fai que $3n+3$ sexa par.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!