OIMU-2021-P2

Enunciado

Existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes reais, tal que para todo $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, o número $P(n)$ sexa algún termo da sucesión de Fibonacci? Nota: A sucesión de Fibonacci $\{F_1,F_2\dots \}$ defínese como $F_1=F_2=1$ e $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ para $n\ge 1$.

---

Resolución

Pista

Empregar que, para un polinomio $P$: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{P(n+1)}{P(n)}=1.$

Solución $P(n)$ toma valores positivos para todo $n\ge 1$ (en particular, cando $n$ é grande), entón o coeficiente principal de $P$ debe ser positivo. Como $P(x)$ non é constante, entón $P^{\prime }(x)$ é un polinomio non nulo con coeficiente principal positivo. Isto implica que existe un enteiro positivo $N$ tal que se $x\ge N$, entón $P^{\prime }(x)>0$ e así $P(x)$ é estritamente crecente e positivo para $x\ge N$. Polo tanto, se $n\ge N$ e $P(n)=F_m$, entón $P(n+1)\ge F_{m+1}$ e $P(n+2)\ge F_{m+2}$. Como a sucesión de Fibonacci é crecente, entón $F_{m+2}=F_{m+1}+F_m\ge 2F_m$ e así dedúcese que $P(n+2)\ge 2P(n)$, ou ben, $P(n+2)/P(n)\ge 2$. Tomando límites cando $n\to +\infty$, obtemos que $1\ge 2$, chegando a unha contradición.

Como a sucesión

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!