OME-1964-P3

Enunciado

Consideramos un polígono convexo de $n \geq 3$ lados. Trazamos todas as súas rectas diagonais e supoñemos que en ningún caso concorren tres delas nun punto que non sexa un vértice, e que tampouco hai diagonais que sexan paralelas. Nestas condicións queremos calcular:

O número de diagonais (excluíndo os lados).
O número total de puntos de intersección destas diagonais (excluíndo os vértices).
Cantos destes puntos son interiores ao polígono e cantos son exteriores.

Resolución

Pista

Cada diagonal vén dada por 2 vértices. Ademais temos $n$ vértices.

Sobre tódalas interseccións das diagonais restamos tódalas que intersecan nun vértice (para cada vértice).

Chega con contar as interiores, sendo as exteriores a diferencia destas co total calculado en $(ii)$ .

Solución

Para calcular o número de diagonais, $d_{n}$ , dun polígono de $n$ lados vemos que unha diagonal é un segmento que une dous dos vértices do polígono. Polo tanto, como cada segmento diagonal ou lado queda determinado polos seus puntos extremos, o número total de segentos determinados por $n$ puntos (vértices) é o número de posibles pares de puntos (sen importar a orde) que se poden formar con eses $n$ puntos, é dicir: $(2 n) .$

Para calcular o número total de puntos onde se cortan as rectas diagonais (rectas determinadas polos extremos de cada segmento diagonal), observamos que o número máximo de interseccións de $k$ rectas no plano é $(2 k)$ , ( $k \in Z^{+}$ ). Así as $d_{n}$ rectas diagonais determinarían $(2 d _{n})$ puntos, se non fora pola restricción de que por cada vértice do polígono pasan $n - 3$ rectas diagonais. En cada vértice coinciden $(2 n - 3)$ puntos de intersección das rectas diagonais, ao ter $n$ vértices, o número total de interseccións das rectas diagonais é: $P = (2 d _{n}) - n (2 n - 3) = \frac{n ( n - 3 ) ( n ^{2} - 7 n + 14 )}{8} .$

O número $P_{I}$ de puntos interiores ao polígono onde ser cortan as rectas diagonais obtense con facilidade unha vez que observamos que cada punto de intersección no interior do polígono queda determinado polos extremos de dous segmentos diagonais, que son catro vértices do polígono dado. Reciprocamente, cada elección de $4$ vértices entre os $n$ vértices do polígono ( $n \geq 4$ ) determina un único punto interior de intersección de dúas diagonais. Polo tanto: $P_{I} = (4 n) .$ Sendo $P_{E}$ o número de puntos de intersección exteriores: $P_{E} = P - P_{I} = (2 \frac{n ( n - 3 )}{2}) - n (2 n - 3) - (4 n) = \frac{n ( n - 3 ) ( n ^{2} - 9 n + 20 )}{12}, para n \geq 4.$ No caso dun triángulo ( $n = 3$ ), temos $P_{E} = 0 = P_{I}$ .

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!

Explorador

OME-1964-P3

Enunciado

Resolución

Dúbidas & Comentarios

Índice

Páxinas relacionadas