OME-1984-P4

Enunciado

Calcula $\underset{n\to \infty }{\lim }\cos \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2^2}\cdots \cos \frac{x}{2^n}$

---

Resolución

Solución

\sin x=2\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{2}}=2^2\cos{\frac{x}{2^2}}\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{2}}=\cdots $$$$\cdots =2^n\sin{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2^{n-1}}}\cdots \cos{\frac{x}{2^2}}\cos{\frac{x}{2}} Por unha banda, $\underset{n\to \infty }{\lim }{2}^n\sin \frac{x}{2^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }x\frac{2^n}{x}\sin \frac{x}{2^n}=x$, xa que basta aplicar o Teorema de Cambio de Variable para Límites e ter en conta que $\frac{\sin z}{z}$ cando $z\to 0$. En consecuencia o límite buscado é $\frac{\sin x}{x}$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!