OME-1987-P5

Enunciado

Nun triángulo $△ABC$ temos dous puntos $D$ e $E$ sobre os lados $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ respectivamente. Coñecemos a medida dos ángulos indicados a continuación: $\widehat{ABE}=30^{\circ }$, $\widehat{EBC}=50^{\circ }$, $\widehat{ACD}=20^{\circ }$ e $\widehat{DCB}=60^{\circ }$. Atopar o valor do ángulo $\widehat{EDC}$.

---

Resolución

Pista

Debuxa $\overline{DF}$, paralela a $\overline{BC}$. O triángulo $△GDF$ será equilátero. Probar ademais que o triángulo $△GEF$ é isósceles.

Solución

No triángulo da figura (ver abaixo) debúxase $\overline{DF}$ paralela a $\overline{BC}$, o triángulo $△BGC$ é equilátero, logo $\overline{GC}=\overline{BC}$. Ademais, o triángulo $△BCE$ é isósceles, posto que ten dous ángulos de $50^{\circ }$, consecuentemente $\overline{BC}=\overline{CE}$. Logo tense que $\overline{CE}=\overline{GC}$, e o triángulo $△CGE$ tamén é isósceles. Desta forma

$$\begin{array}{rl}\widehat{EGC}& =\widehat{GEC}=\frac{1}{2}(180^{\circ }-20^{\circ })=80^{\circ },\\ \widehat{FGE}& =180^{\circ }-\widehat{DGF}-\widehat{EGC}=40^{\circ },\\ \widehat{GFE}& =180^{\circ }-\widehat{FBC}-\widehat{FCB}=40^{\circ }.\end{array}$$

Polo tanto, $\widehat{FGE}$ é isósceles e, como $△DFG$ é equilátero, temos que os triángulos $△DEF$ e $△DEG$ son iguais, entón $\overline{DE}\perp \overline{GF}$, isto é $\overline{DE}$ é a altura do triángulo equilátero $△DFG$. En consecuencia,

$$\widehat{EDC}=\frac{1}{2}\widehat{FDC}=30^{\circ }.$$

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!